Ich habe bei Thunderbird mit GoogleMail das Problem, das nicht alle Ordner / Labels auf neue Nachrichten geprüft werden. Mit folgender Konfigurationsänderung prüft Thunderbird absofort alle Ordner / Label auf neue Nachrichten:
Extras -> Einstellungen -> Erweitert -> Konfiguration bearbeiten
mail.check_all_imap_folders_for_new = true